经典的亮红灯问题
假设已知红灯亮的概率为70%，亮绿灯的概率为30%。如果猜对加1分，猜错扣1分。试问10次精彩竞猜中，猜多少次“红灯亮”才是最优策略？
一般人的感性认知是猜7次红灯亮，3次绿灯亮。
但实际上真正最优策略是10次全猜红灯。因为存在你猜红灯亮的时候偏偏绿灯亮了。那么绿灯亮的时候你猜的必定是红灯亮，直接双倍扣分。
猜10次数学期望是7*10-3*10 = 4
假设亮红灯的概率是P 亮绿灯的概率是（1-P）设X次猜测红灯亮 求数学期望
解：假设你总共猜了 X 次红灯亮，则期望得分 E_1 为：
E_1 = X * (P * 1 + (1 - P) * (-1))
E_1 = X * (2P - 1)
剩下的 10 - X 次猜绿灯亮，期望得分 E_2 为：
E_2 = (10 - X) * (P * (-1)+（1 - P）* 1)
E_2 = (10 - X) * (1 - 2P)
因此，总的期望得分 E 为 E_1 + E_2 ：
E = X * (2P - 1) + (10 - X) * (1 - 2P)
E = X * (2P - 1) - (10 - X) * (2P - 1)
E = (2X - 10) * (2P - 1)
即总期望得分是 (2X - 10) * (2P - 1)
可以很容易得出以下结论。
只要X>5，期望就为正。且X=5时，数学期望为0。（5为总猜测次数一半）
容易推论出无论猜测多少次，只要一半猜红灯亮，一半猜绿灯亮。数学期望就是0。和红灯绿灯亮的概率无关。
如果只做单边交易，即猜红灯时，如果对了得一分，猜错扣一分。猜绿灯时跳过。那么期望就是E_1。
X是线性函数，若P>0.5。参与次数越多期望越大。反之，做的越多亏得越多。
应用
这个有什么用呢？
对于普通人来说，在牛市中，最佳的策略是全部猜测上涨并且买入后不动，（坚定的选红灯）。此时数学期望最大。而在熊市中则相反，坚定空仓的数学期望最大。一半时间看空，一半时间看多。你的胜率永远是50%。
任何分析后的额外操作，都只是为了获取超额利润，都有可能导致更加严重的亏损。
另一个相似的经典问题
在上一个问题中，假设红灯已经亮了7次，那么剩下3次应如何该猜”红灯亮”还是”绿灯亮”，才能让策略最优？
答案是仍然猜测红灯亮。因为红灯的概率依然是70%。红灯亮的概率依然远大于绿灯亮。用这个逻辑也可以得出永远选红灯亮是最优解。
7次连续红灯，第8次依然红灯看起来应该不可能。
跳出这个思维陷阱的关键是，每次亮灯都是相对独立的事件。相比较8次红灯亮，7次连续红灯从概率上讲就已经是一个极小概率事件了。但是他已从一个小概率事件成为了现实。那么就不应该再用概率去推测这件事是否应该发生，因为他已经发生了。
那么既然有这种例子的发生，概率似乎没有什么用，小概率的事件依然可以成为现实。依然可能出现100次都是红灯亮的极端情况。因为人类的局限性，我们无法用我们知道的过去确定的例子推测未来事件的走向。我们似乎无法通过总结过去，去预测未来。
那么概率存在么？
换句话说，如果出现100次都是红灯亮，必然在未来要出现30次绿灯亮的事件，这样才能证明总体概率是70%。如果不是这样，那么总体概率就不是70%。概率不存在。
我的解释是：
我认为概率是存在的。只不过人类的生命太过于短暂，你只能观测到有限的样本。过去和未来都不可知。在这个例子中，宇宙亮红灯，亮绿灯事件顺序是确定下来的，但顺序是打乱的，总体上是70%的红灯加30%的绿灯。那么你可能遇到了100次都是绿灯亮的时候，或者100次都是红灯的时候，但并不能证明整体的概率不是70%。
未来既定却不可预测……
应用
因为人类的局限性，我们无法用我们知道的过去确定的例子推测未来事件的走向。我们似乎无法通过总结过去，去预测未来。我们应当对我们的认知保持怀疑态度，我们必须从最基础最基础的原理出发探索真相，而不是从表象已发生事件出发。
保持谦虚，其实我们一无所知。
其他YY
有种方式可以增加预测成功率，虽然仅仅是逻辑上可以，操作上无法实现。
就像扑克牌记牌，已经出现了3张Ace，那么只可能再出现1张Ace。
如果是简单的2元问题，我们能从原理上判断出正负事件发生的概率（实际上我们不能），又能统计过去所有正发生的次数，那么正事件再次发生的可能性就会越来越低，负事件发生的概率就会越来越高。甚至如果我们能计算出现在事件发生概率（实际上我们不能）。结合概率的变化，我们能推测出事件的终结。
另一个YY
如果未来是无限的并不存在终结，即事件的发生是无穷多，那么1倍的无穷多和3倍的无穷多在数学上应该相等（等势），那为什么3倍的事件要发生的多呢？
对，没错。理论上应当是。那么一定存在一种力，我把它叫做命运之力。总是让3倍事件发生的多了。
